排序算法的时间复杂度
八种排序算法思想
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冒泡排序:
是相邻元素之间的比较和交换,两重循环O(n2);所以,如果两个相邻元素相等,是不会交换的。所以它是一种稳定的排序方法 -
快速排序:
快速排序有两个方向,左边的i
下标一直往右走,当a[i] <= a[center_index]
,其中center_index
是中枢元素的数组下标,一般取为数组第0个元素。而右边的j
下标一直往左走,当a[j] > a[center_index]
。如果i
和j
都走不动了,i <= j
, 交换a[i]
和a[j]
,重复上面的过程,直到i>j
。 交换a[j]
和a[center_index]
,完成一趟快速排序。在中枢元素和a[j]
交换的时候,很有可能把前面的元素的稳定性打乱,比如序列为5 3 3 4 3 8 9 10 11
, 现在中枢元素5
和3
(第5个元素,下标从1开始计)交换就会把元素3
的稳定性打乱,所以快速排序是一个不稳定的排序算法,不稳定发生在中枢元素和a[j]
交换的时刻。 -
选择排序:
每个元素都与第一个元素相比,产生交换,两重循环O(n2);举个栗子,5 8 5 2 9,第一遍之后,2会与5交换,那么原序列中两个5的顺序就被破坏了。所以不是稳定的排序算法。 -
插入排序:
插入排序是在一个已经有序的小序列的基础上,一次插入一个元素。刚开始这个小序列只包含第一个元素,事件复杂度$O(n^2)$。比较是从这个小序列的末尾开始的。想要插入的元素和小序列的最大者开始比起,如果比它大则直接插在其后面,否则一直往前找它该插入的位置。如果遇见了一个和插入元素相等的,则把插入元素放在这个相等元素的后面。所以相等元素间的顺序没有改变,是稳定的。 -
归并排序:
归并排序是把序列递归地分成短序列,递归出口是短序列只有1个元素(认为直接有序)或者2个序列(1次比较和交换),然后把各个有序的段序列合并成一个有序的长序列,不断合并直到原序列全部排好序。可以发现,在1个或2个元素时,1个元素不会交换,2个元素如果大小相等也没有人故意交换,这不会破坏稳定性。那么,在短的有序序列合并的过程中,稳定是是否受到破坏?没有,合并过程中我们可以保证如果两个当前元素相等时,我们把处在前面的序列的元素保存在结果序列的前面,这样就保证了稳定性。所以,归并排序也是稳定的排序算法。 -
基数排序:
基数排序是按照低位先排序,然后收集;再按照高位排序,然后再收集;依次类推,直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的,先按低优先级排序,再按高优先级排序,最后的次序就是高优先级高的在前,高优先级相同的低优先级高的在前。基数排序基于分别排序,分别收集,所以其是稳定的排序算法。 -
希尔排序(shell):
希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序,当刚开始元素很无序的时候,步长最大,所以插入排序的元素个数很少,速度很快;当元素基本有序了,步长很小,插入排序对于有序的序列效率很高。所以,希尔排序的时间复杂度会比$o(n^2)$好一些。由于多次插入排序,我们知道一次插入排序是稳定的,不会改变相同元素的相对顺序,但在不同的插入排序过程中,相同的元素可能在各自的插入排序中移动,最后其稳定性就会被打乱,所以shell排序是不稳定的。 -
堆排序:
我们知道堆的结构是节点i的孩子为 $2i$ 和 $2i+1$ 节点,大顶堆要求父节点大于等于其2个子节点,小顶堆要求父节点小于等于其2个子节点。在一个长为n的序列,堆排序的过程是从第 $n/2$ 开始和其子节点共3个值选择最大(大顶堆)或者最小(小顶堆),这3个元素之间的选择当然不会破坏稳定性。但当为 $n/2-1$ , $n/2-2$, ... $1$ 这些个父节点选择元素时,就会破坏稳定性。有可能第 $n/2$ 个父节点交换把后面一个元素交换过去了,而第 $n/2-1$ 个父节点把后面一个相同的元素没有交换,那么这2个相同的元素之间的稳定性就被破坏了。所以,堆排序不是稳定的排序算法八种排序算法稳定性
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稳定:归并排序、冒泡排序、插入排序、基数排序
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不稳定:选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序是不稳定的
八种排序算法时间复杂度
最基础的四个算法:冒泡、选择、插入、快排中,快排的时间复杂度最小$O(nlog_2n)$,其他都是$O(n^2)$
排序法 | 平均时间 | 最差情形 | 稳定度 | 额外空间 | 备注 |
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冒泡 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | 稳定 | $O(1)$ | n小时较好 |
选择 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | 不稳定 | $O(1)$ | n小时较好 |
插入 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | 稳定 | $O(1)$ | 大部分已排序时较好 |
基数 | $O(log_RB)$ | $O(log_RB)$ | 稳定 | $O(n)$ | B是真数(0-9),R是基数(个十百) |
Shell | $O(nlog_2n)$ | $O(n^s)$ (1<s<2) | 不稳定 | $O(1)$ | s是所选分组 |
快速 | $O(nlog_2n)$ | $O(n^2)$ | 不稳定 | $O(nlog_2n)$ | n大时较好 |
归并 | $O(nlog_2n)$ | $O(nlog_2n)$ | 稳定 | $O(1)$ | n大时较好 |
堆 | $O(nlog_2n)$ | $O(nlog_2n)$ | 不稳定 | $O(1)$ | n大时较好 |
转载于:八大排序算法的稳定性及复杂度